LOGICA MATEMATICA

La lógica matemática utiliza métodos de razonamiento, proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.

En esta sección se presenta un panorama genenal de la lógica y el razonamiento, desde la idea general de inferencia, la deducción formal en matemáticas y el uso para la justificación de conceptos matemáticos.

También se presenta una sección donde se incluyen problemas diversos de razonamiento que sirven para que el alumno desarrolle su habilidad de razonar.

EXAMEN 1 DE RAZONAMIENTO MATEMATICO

Trata de resolver el examen siguiente en una hora. Después practica con los ejercicios extra dados para reforzar los conocimientos:

1. Diga si cada número dado es entero positivo N+, entero Z , racional Q o real R .

2. Indique las propiedades utilizadas en la expresión original en cada paso:

4(x+3)-2(x2+6)

3. Marcar la jerarquía de operadores y hacer el árbol sintáctico

4. Sustituir en el árbol los valores de x = 1, x = −3 para evaluar la expresión anterior

5. Simplificar
a(a-3b) + 7(2a+b) - 5b(2a+b)

6. Simplificar

7. Factorizar el siguiente trinomio:
4x2 - 7x + 3

8. Factorizar utilizando división sintética:
7x3 - 5x2 + 3x - 5

9. Resolver la siguiente ecuación lineal:
5(2x-3) + 1 = 4(x-2) - 3

10. Resolver la siguiente ecuación lineal:

POLINOMIO

Podemos considerar a un polinomio como una expresión con variable que se obtiene mediante las dos operaciones básicas (suma y producto) en el dominio donde está definido.
Anteriormente se considerabaMonomio: Expresión algebraica que consta de un término.Binomio: Que tiene dos términos.Trinomio: Con tres términos.Polinomio: Que tiene cuatro o más.


Es muy común que gente que maneja matemáticas tenga un concepto similar a este, el cual está muy lejos de la realidad.

CONCEPTOS MATEMATICOS

Lo importante sobre los conceptos matemáticos es que debemos entender que son entes perfectamente definidos y que debemos de profundizar en el análisis para comprender su significado. Muchas veces palabras sencillas, como igualdad, función, etc. debido a que todo mundo las utiliza en la vida real, se puede pensar que ya se saben; sin embargo, es necesario que se entienda que los conceptos son precisos y debemos de asegurarnos que el alumno tenga clara la definición. se pueden analizar conceptos como: Igualdad, ecuación, solución de una ecuación, resolver una ecuación, polinomio, raíz cuadrada, número positivo, valor absoluto, función, etc.
Lo importante es que se establezca una definición clara, sencilla y precisa de cada unos de ellos.

EJERCICIO SIMPLIFICAR

La simplificación consiste en la división de dos números que están dividiendo entre sí (numerador y denominador) por un mismo número para obtener una fracción equivalente.

Esto es posible, ya que al ser una multiplicación, se resuelve multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador; y como el orden de los factores no altera el producto, da lo mismo si el denominador

EJERCICIO DE MATEMATICAS DE FUNCIONES DE COSTOS

El gerente de una fabrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un costo de $25000 y el martes fabrico 40 a un precio de $30000

A) Tenemos que encontrar una ecuacion de costo

B) Tenemos que investigar el costo fijo diario y el costo marginal, Tomando en cuenta que la empresa vende los refrigeradores a $1500 y asi saber cual es la ecuacion de ingresos

C) Cual es la ecuacion de utilidad?,cuantos refrigeradores puede vender esta empresa por dia para alcanzar el equilibrio?

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Suma y resta de fracciones

Las reglas de la aritmética para sumar y restar fracciones son aplicables a las fracciones algebraicas. Las fracciones que se combinan para la adición o sustracción deben tener el mismo denominador. Los numeradores se combinan entonces de acuerdo con las operaciones indicadas y el resultado se coloca sobre el denominador. Por ejemplo, en la expresión.

El segundo denominador será el mismo que el primero si se cambia su signo. El valor de la fracción permanecerá igual si el signo del numerador se cambia también. Entonces, tenemos esta simplificación:

Cuando los denominadores no son los mismos deben reducirse a común denominador todas las fracciones a sumar o sustraer y luego se procede.

Consideremos, por ejemplo,

Primero determinamos el mínimo común denominador (MCD). Recuerde que éste es el mínimo número exactamente divisible por cada uno de los denominadores. Para determinar este número, como en aritmética, primero separamos cada uno de los denominadores en factores primos. El MCD contendrá todos los diversos factores primos, tantas veces como aparecen en cada uno de los denominadores.

Factoreando, resulta

y el MCD es (x + 2) (x - 2) (x - 6). Volviendo a escribir las fracciones con este denominador y sumando los denominadores, tenemos la siguiente expresión:

EJERCICIO DE DIVISION DE FRACCIONES

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:En los siguientes problemas, dividir y reducir a los mínimos términos:

DIVISION DE FRACCIONES

División de fracciones

Las reglas de la aritmética se aplican a la división de fracciones algebraicas; igual que en aritmética, simplemente se invierte el divisor y se multiplica, así:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:En los siguientes problemas, dividir y reducir a los mínimos términos:

PROPIEDADES BASICAS

Los Números Reales son un conjunto con dos operaciones: (R, *, +) , que cumple las siguientes propiedades:

Ley 1: Reacomodo. Podemos cambiar de orden los términos en una suma o en un producto y el resultado es el mismo. También podemos cambiar el orden de los parétesis en varios términos que se están sumando.

Ejemplo 1: 3x + 2y = 2y + 3x

Ejemplo 2: (5x+1)(2x-3) = (2x - 3)(5x+1) Ejemplo 3: (a + b) + (5c + d) = b + ( 5c + a + d)

Ley 2: Cancelación.Para la suma: Todo número sumado con su inverso se “cancela”.En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número sumado con 0 no se altera y todo número sumado con su inverso es igual a 0.Para la multiplicación: Todo número multiplicado con su inverso se “cancela”.En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número multiplicado por 1 no se altera y todo número diferente de 0, multiplicado por su inverso es igual a 1.

Ejemplo 4: 5x + 8y - 8y = 5x Ejemplo 5: 5 * (1/5) = 1

Ley 3: Del Mosquetero: Un número que está multiplica a un paréntesis con varios números adentro, multiplica a uno si la operación es multiplicación y a todos si es suma.

Ejemplo 6: x (y + 5) = + xy + 5x Ejemplo 7: 7 (3x) = 21 x Ejemplo 8: 3x (x+5) = 3x2 + 15x

Ejemplo 9: (2x-1)(4x+3) = 8x2 + 6x - 4x −3 = 8x2 + 2x −3

La primera ley es la combinación de las leyes conmutativas de la suma y multiplicación y de la ley asociativa de la suma.

La segunda consise de cuatro leyes; Las leyes de los elementos neutros y de los elementos inversos para la suma y la multiplicación.

La tercera es la ley asociativa de la multiplicación y la ley distributiva.

Con estas Tres Leyes Básicas, que son el resumen de los axiomas de campo de los números reales, podemos desarrollar toda el álgebra y deribar todas las demás propiedades.

NUMEROS REALES

Para empezar el tema de los números reales, un maestro pregunta a su grupo: ¿Qué es un número? Uno de los alumnos responde: un valor, otro dice: una cantidad y un tercero: un símbolo. Y la mayoría de ellos no sabe que responder y se cuestionan si lo que respondieron sus compañeros está bien. Hemos manejado los números reales desde los cuatro o cinco años de edad, pero; ¿qué tan a fondo los conocemos?

La pregunta de qué es un número se la ha hecho la humanidad desde hace muchos siglos. ¿Qué es verdaderamente un número y quién ha dado una buena definición?

Intuitivamente, todo mundo entiende lo que es un número; sin embargo, si se quiere dar una definición formal no es una pregunta simple de contestar y la prueba es que le llevó varios siglos a la humanidad obtener una respuesta adecuada.

Existen varias formas de abordar los números reales, la más conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivo N = {1,2,3,…} por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de Peano y construyendo los demás: enteros negativos, fracciones e irracionales a partir de ellos.

PENDIENTE DE UNA RECTA

m= Positiva






m= Negativa





m= 0

m=



Ecuacion de una recta
punto - pendiente
Y-Y1= m(x-x1)

Ordenada al origen
Y=mx+b

Ecuacion Normal
x/a + y/b =1

Ecuacion General
ax + by + c =0

a Siempre es positiva





Pendientede una recta

P(X1,Y1) Q(x2,y2)


Pendiente --m = y2-y1/x2-x1

ECUACION DE LA RESTA

Encontrar la ecuacion de la resta y su grafica que pasa por.

a) P(2,1) Q(-3,2)
b) P(-1,2) Q(4,5)
c) P(4,4) Q(-2,3)
d) P(-3,-2) Q(-1,2)
e) P(1,1) Y Con Pendiente m=-2
f) P(-3,-2) Con m=-1
g) P(4,-3) Con m=6
h) P(3,1) Con m=-3/5
i) P(4,4) Con m=3/2

EJERCICIO DE FUNCIONES DE COSTOS

Funciones de costos, ingresos y utilidades una funcion de costo especifica el costo C como una funcion de articulos. Una funcion de la forma C(X)=mx+b se llama funcion de costo lineal. la cantidad mx se llama costo fijo. la pendiente m es el costo por unidad.

El ingreso que resulta de una o mas transsacciones comerciales es el pago total recibido y avecez se le llama ingreso bruto. si R(x) es el ingreso por vender x articulos al precio de m de cada uno, entonces R de X de R de X y al precio de venta m se puede llamar ingreso marginal.

La utilidad es el igreso neto, osea de lo que queda de los ingresos despues de restar los costos. si la utilidad depende de forma lineal de la cantidad de articulos la pendiente m se le llama utilidad marginal. la utilidad se define como utilidad igual ingreso menos costo U=I-C el equilibrio quiere decir no tener utilidades ni perdidas y este se alcanza cuando U=O

El punto de equilibrio es la cantidad X de articulos en el cual se presenta el equilibrio.

EJERCICIO

El gerente de una fabrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un costo de $25,000 y el martes fabrico 40 a un precio de $30,000

A) Encuentre una ecuacion de costo basada a

B) Cual es el costo fijo diario y cual es el costo marguinal?,la empresa vende los refrigeradores a $1500 cual es la ecuacion de ingresos

C) Cual es la ecuacion de utilidad?, cuantos refrigeradores debe vender esta empresa por dia para alcanzar el equilibrio?

PROCEDIMIENTO:

(30,25,000)
(40,30,000)
m=30,000 - 25,0000/40-30
m=5000/10=500
m=500

Y-25000=500(X-30)
Y-25000=500X-15000
Y=500X-15000+25000

A) C=500X+10000
Costo Fijo 10000
Costo Original 500

B) I=1500X

U=I-C
U=1500X-(500X+10000)
U=1500X-500X-10000

1000X-10000=0
1000X=10000
X=10000/1000
X=10 Refrigeradores

TEMARIO

Unidad Temática
Subtemas

1. Fundamentos
1.1 Introducción
1.2 Números Reales
1.3 Sintaxis y Semántica

2. Álgebra
2.1 Factorización
2.2 Fracciones
2.3 Ecuaciones Lineales

3. Lógica y Razonamiento
3.1 Razonamiento
3.2 Inferencia
3.3 Deducción
3.4 Comprobación
3.5 Pruebas Matemáticas

4. Resolución de problemas
4.1 Diagrama Alfa-Lamda
4.2 Modelo de Stewart
4.3 Modelo de Dewey-Polya
4.4 Aplicaciones
4.4.1 Movimiento
4.4.2 Mezclas
4.4.3 Ejemplos geométricos

5. Estructuras Matemáticas
5.1 Geometría
5.2Trigonometría
5.3 Geometría Analítica

PRESENTACION

El presente blog contiene material del Curso Razonamiento Matemático : Definiciones, conceptos y material general de matemáticas con el enfoque de la formalización y el desarrollo de algoritmos que faciliten su comprensión, por lo que cualquier aportación es bien recibida.


El sitio está dirigido principalmente para alumnos, maestros y padres de familia que tiene la necesidad inmediata de ampliar la información para poder entender y aprender algún concepto de matemáticas, sin embargo es un apoyo importante para cualquier persona que esté interesada en aprender e incursionar en el fascinante mundo de las matemáticas.